Bifurkationer.
Bifurcations.

Till startsidan Föregående sida Innehåll

Bifurkatiner uppkommer efter det att man iterierat en funktion ett antal gånger och sedan skriver dit dom uppkommna attraktorerna i en vanlig graf för alla x i ett intervall.

Standardbifurkationen

Vanligtvis så brukar man som standarddefinition använda bifurkationen som uppkommer vid formeln :

xn = axn-1(1-xn-1)

Formeln kallas "Verhulst dynamiska ekvation" efter den Belgiske matematikern Pierre François Verhulst. Ibland kallas den även för "den logistiska ekvationen".

Om man initierar parametern x med talet 0.5 och låter parametern a motsvara läget på x-axeln och sedan iterierar för alla koordinater i intervallet 1.0 < a < 4.0 och sedan skriver in alla attraktorer som uppstår då i en graf så får man följande resultat :


O.B.S : x och y är inte propotionella i bilden. För korrekta förhållanden se bilden nedan.

Det är så här man normalt presenterar bifurkationen men funktionen ger även en bifurkation för intervallet -2.0 < a < -1.0 och om man då visar hela bifurkationskurvan för funktionen ovan i ett koordinatsysten där sidan på varje ruta motsvarar längden 1 så ser det ut såhär :

Vad grafen visar är att :

I alla koordinater i intervallet -1.0 < a < 1.0 går x mot noll.
Vid koordinater i intervallen -2.0 < a < -1.0 och 1.0 < a < 4.0 går x mot en eller flera attraktorer.
Med övriga värden på a så kommer x att gå mot oändligheten.

Bifurkationens Algoritm

För att visa en graf av en bifurkation så krävs det att man iterierar sin funktion tillräckligt många gånger för att man skall nå goda närmevärden av bifurkationens attraktorer och sedan skriva dit det antal attraktorer (punkter) man önskar för varje koordinat på x-axeln. Det är nödvändigt att begränsa antalet punkter då det uppstår ett oändligt antal attraktorer för vissa koordinater.

För att skriva bifurkationskurvan i bilden ovan så kan följande algoritm i pseudokod användas:

Sätt a till - 2.0
Sätt dx till 6.0 / antal koordinater
Upprepa
  Sätt x till 0.5

      först så iterieras funktionen ett antal gånger för att nå närmevärden
      av attraktorerna. Jag brukar nöja mig med 256 stycken men vissa kör med
      10,000 stycken eller fler för-iterationer.(Preiteriations).

  Sätt i till 0
  Upprepa
    Sätt x till a · x · (1.0 - x)
    Öka i med 1
  Tills i > 255

      sedan så skrivs dom uppkommna attraktorerna dit. Jag brukat nöja mig med 16
      stycken och använder i stället ett stort värde på "antal koordinater"
      (10,000 eller så) för att på så sätt få bra upplösning.

  Sätt i till 0
  Upprepa
    Sätt x till a · x · (1.0 - x)
    Plot [a, x]
    Öka i med 1
  Tills i > 15
  Öka a med dx
Tills a > 4.0

****

Det finns samband mellan bifurkationer och juliabibliotek som till exempel Mandelbrotmängden. Dom sambanden kan du läsa om på sidan Bifurkationer och dom komplexa juliabilioteken.

Bifurkationens historik.

Verhulst menade att bifurkationskurvan representerar en populationsmängd vid en viss storlek på resurser (x-axeln), dödstal, nyfödda o.s.v. påverkar folkmängden, individer i schimpansflocken, mängden fisk i en damm eller vad den tänkta populationen nu består i. Populationen ökar ständigt med resurserna till ett visst gränsvärde.

När resurserna når gränsvärdet (i det här fallet 3.0) så kommer populationen att öka snabbare än resurserna (den övre gaffeln / furken / forken) det ena året vilket i sin tur gör att resurserna inte räcker till alla i gruppen och därför dör ett större antal ut än normalt och nästa år så kommer populationen därför vara mindre än normalt (den nedre gaffeln).

Det är företrädelsevis äldre eller sjuka individer som dör först när resurserna tryter vilket medför att gruppen nu består av många unga produktiva individer som har ett överskott på resurser vilket i sin tur gör att barnkullarna blir stora och befolkningen ökar mycket snabbt (tillbaka på den övre furken igen). Vilket då givetvis orsakar ett nytt svältår med stor dödlighet nästa säsong.

På det viset så kommer gruppen att växla storlek mellan två stabila värden från år till år. Ökar resurserna ytterligare så uppstår fyra stabila nivåer (furkationerna bildar nya bifurkationer). Vid ännu större värden nås åtta stabila nivåer o.s.v.

När resursmängden har nått en bit över 3.5 så kommer det att bildas så många stabila nivåer (attraktorer) att det inte längere går att förutsäga(*) hur många dom kommer att vara, man brukar då säga att sytemet är kaotiskt.

Vad Verhulst ansåg att den nedre delen med negativa resurser representerar är sårt att sia i men det är uppenbar att det kan bildas större befolkningsgrupper än vid positiva resursnivåer, det kan tillochmed vara så att det saknas individer (negativa y-värden i grafen) när resurserna skänks bort i stället för att konsumeras. Man har helt enkelt inte tillräckligt många att mätta med dom bortskänkta resurserna. :-)

Det är på det här viset som lämmelår, nyckelpigeår, gräshoppsår o.s.v. uppstår enligt Verhulst men systemet är givetvis mera svåröverskådligt än såhär i verkligheten, funktionen medtar till exempel inte oväntade händelser som katastrofer (vulkanutbrott, eldsvådor, supernovor i närliggande stjänsystem och liknande), invandring / utvandring, introduktion av nya födoämnen (tex kannibalism) när dom som normalt konsumeras inte längere räcker till o.s.v. Holism och matematik har lite svårt att mötas och därför står holismen inte högt i kurs hos matematiker som i stället förenklar på det där viset och bevisar därmed ingenting.

(*) Påståendet är faktiskt inte sant, antalet attraktorer fördubblas ständigt vid varje ny nivå och serien är binär : 1, 2, 4, 8, 16 ... Anledningen till att man tror att systemet är kaotiskt beror på att attraktorerna ibland hamnar ovanpå varandra och förefaller därför att vara endast 1 fast det kan ligga en hel hög med attraktorer i samma punkt som inte går att skilja från varandra för att antalet decimaler som används har tagigt slut. Om man har 2^256 (en fruktansvärd siffra) attraktorer varav 30-40 procent verkar ligga på samma punkt som en annan attraktor så förefaller systemet att vara kaotiskt vid en snabb betraktelse. Men som sagt Fractalus vet bättre i det här fallet ;-) Fractalus anser defakto att kaos inte existerar överhuvudtaget utan menar att det är egentligen synonymt med "obegripligt system" (för den som använder ordet då).

I den här bilden har jag inte föriterierat utan skrivit in alla transformationerna för alla iterationerna och det dessutom i olika färger. Den ursprungliga världen som transformerats är den vita linjen vid höjd 0.5. Här framgår det tydligt att funktionen är binär och hela tiden delar sig i par. Färger med jämna nummer (slutar med 0, 2, 4, 6 och 8) eller som använt ett jämnt antal iterationer om du vill, hamnar i den nedre furken i den första furkationen, ojämna i den övre. Iterationsantal som är jämnt delbara med 4 hamnar i den nedre furken i den andra furkationen som ligger i den nedre furken av den första furkationen o.s.v. När sedan furkationerna korsar varandra så kommer det inte längre vara lika tydligt att dom delar sig i par och detta omtalade "kaos" uppstår.

Fortsättning följer ...

Till startsidan Föregående sida Innehåll

Har du synpunkter på innehållet? Vill du rätta fel? Göra tillägg? Ställa frågor? då kan du kontakta Fractalus.