Bifurkationer och dom komplexa juliabilioteken.
Bifurcations and the complex julia librarys.

Till startsidan Föregående sida Innehåll

Det finns ett samband mellan bifurkationer och juliabiliotek som till exempel Mandelbrotmängden. Mandelbrotmängdens komplexa matematik : z = z² + c går givetvis att överföra till vanliga reella tal på formeln x = x² + a och sedan med hjälp den visa en graf som ger en bifurkation.

På den här bilden så har jag skrivit in mandelbroten och dess reella bifurkation i ett koordinatsystem där origo ligger i centrum och varje ruta har sidlängden 1 :

På samma sätt så kan man överföra den reella formeln för den vanliga bifurkationen : x = x · a · (1.0 - x) till en funktion på komplexa tal : z = z · c · (1.0 - z) och rendera den Komplexa bifurkationen. (Fraktalen kallas även för Mandellambda.)

På den här bilden så har jag på samma sätt som ovan skrivit in både bifurkationen och juliabibloteket i ett likadant koordinatsystem som det ovan :

Om du vill se juliamängder från det här biblioteket så har Fractalus ett bildgalleri som tillängnas just dessa : Juliafraktaler från den komplexa bifurkationen.

Om man sedan betraktar funktionen som ger upphov till bifurkationen så inser man att om man byter ut variabeln a mot en konstant k och sedan visar dom uppkommna attraktorerna på en tallinje så ser man att det egentligen är en avancerad form av cantordamm.

Sättet funktionen skiljer sig från det vanliga cantordammet består i att normalt så är skalningen linjär typ x · k medans i det här fallet så rör det sig om en kvadratering x · j · (k - x) där j är en skalningsfaktor och parentesen är den negativa skillnaden mellan k och x som då skapar ytterligare en skalningsfaktor som då kan verka i motsatt riktning.

Om man sedan iterierar funktionen så kommer det vid varje iteration skapas en ny transformation av en transformation o.s.v. av den ursprungliga världen (utgångsvärdet 0.5) som skrivs in över dom tidigare transformationerna. Punkterna som kopiorna av kopiorna o.s.v. utgör sammlar sig i kluster på samma sätt som dom gör vid den linjära transformationen (det normala cantordammet).

Stoppar du däremot inte dit någotnting från början utan startar på 0.0 så händer NADA och punkten stannar vid 0.0 och det beror på att det då inte finns någonting där att transformera.

Funktionen saknar dessutom translation som annars hela tiden förskjuter nollpunkten i transformationen i förhållande till var den låg i den tidigare transformationen och som annars kan ge upphov till fraktaler ur detta NADA, punkten befinner sig då alltså fortfarande vid 0.0 i sin nya transformerade värld men vi med gusdperspektiv ser något annat (se utförligare förklaring på sidan : Enkla transformationer) där också sambandet mellan sierpinskytrianglar och cantordamm tydliggörs).

****

Om nu juliabiblioteket nu är en komplex bifurkation så är på samma sätt juliamängderna man tar ur juliabiblioteken komplexa kvadraterande cantordamm. Dom man tar ur mandelbrotmängeden har formeln : z = + p där p är en konstant punkt i mandenbrotmängden och motsvarar platsen i biblioteket där den aktuella juliamängden finns "arkiverad". Utgångsläget är parametern c = [a, b] som motsvarar den punkt i det komplexa talplanet (Z-planet) som vi vill beräkna den aktuella juliamängden för.

Där undersöker man sedan hur många iterationer kvadrateringen kräver innan parametern z går över ett visst absolutvärde |z| > k och sedan och sedan skriver dit en punkt i utgånspositionen där man låter antalet använda iterationer representera en unik färg från en pallett.

Fortsättning följer ...

Till startsidan Föregående sida Innehåll

Har du synpunkter på innehållet? Vill du rätta fel? Göra tillägg? Ställa frågor? då kan du kontakta Fractalus.