22

Avertaj vortoj: Ĉi tiu artikolo ĉefe estas eksperimento utiligi kelkajn matematikajn terminojn en artikolo kie la aŭtoro spekulativas pri la ebleco, ke la homoj kiuj vivis dum la kvara dinastio en Egiptujo utiligis aritmetikan solvon por la kvadraturo de la cirklo uzante la frakcion 22/7 anstatŭ la konstanto π. 22/7 ja estas valoro kiun oni ankaŭ hodiaŭ uzas en la lernejoj je prikalkulo de cirklaj areoj kaj tubaj volumenoj.

Do, nur homoj kiuj mem ŝatas spekulativi pri kuriozaĵoj legu la artikolon, la ceteraj, kiuj serioze traktas la matematikon, eble legu iun artikolon pri rilativeco aŭ pri la teorio pri vibraj kordoj.

Vi certe scias, ke la fondinto de la matematika scienco estas Eŭklido kiu vivis en Egiptujo kaj instruis ĉe la universitato en Alexandria proksimume 300 jarojn a.K. (a.K. = antaŭ la naskiĝo de Kristo). Li interalie verkis 13 librojn pri matematiko. Tiuj libroj, greklingve nomata "Stoikeia" (latinlingve: Elementa). Jam hodiaŭ la enhavo de tiuj libroj estas tre grava por tiu kiu studas geometrion.

Eŭklides vivis / loĝis sufiĉe proksime al la Granda Piramido dum kelke da tempo. Estas eble, ke li studis tiun grandan konstruaĵon el geometriaj kaj matematikaj vidpunktoj same kiel Pitagoro kiu, laŭdire vizitis Egiptujon proksimume tricent jaroj pli frue. Post tiu vizito Pitagoro, inter alie, pruvis la verecon de la tezo pri ortaj trianguloj: c² = a² + b²

Do, kaj Pitagoro kaj Euklido eble ĉerpis siajn ideojn pri geometrio el la hieroglifa skribo, kiu laŭdire tiam troviĝis sur la kovroŝtonoj de la Granda Piramido ĉe El Gize. Hodiaŭ neniu mense sana persono kuraĝus nomi tiujn grandulojn "piramidiotoj" pro tio, ke ili eble utiligis informojn ĉizitaj en la kovraĵo de la piramidoj aŭ de egiptaj pastroj kiuj posedis multe da scioj pri la piramidoj ĉe El Gize.

Laŭ piednoto en la verko SIGMA (sveda traduko de la verko " The World of Matematics") ne troviĝas iaj pruvoj en originalaj egiptaj tekstoj pri la "egipta triangulo". La matematikisto B.L. van der Waerden esprimas en sia libro " Science Awakening" la opinion, ke la esprimo "la egipta triangulo" estas libera eltrovo de la matematik-historiisto Cantor (Kantor) kiel klarigo, ke la egiptoj povis konstrui ortojn ekz. je konstruado de piramidoj.

La hipotenuzo en plej multaj ortaj trianguloj ne estas esprimebla per entjeraj nombroj aŭ eĉ per frakcioj. Jam Pitagoro eltrovis tiun fakton kaj konstatis, ke troviĝas nefrakciaj nombroj. Oni ne estas tute certa laŭ kiu maniero Pitagoro konstatis tiun fakton.

Unu ebleco estas, ke li analizis, ĉu la diagonalon en kvadrato povas esti esprimata per frakcia nombro. Alia ebleco estas, ke Pitagoro, aŭ iu el liaj prozelitoj, konstatis tion kiam oni studis la oran tranĉon.

La ora tranĉo estas esprimata algebrae per a : b = b : c kie c estas la tuta distanco kaj a kaj b eroj de la tuta distanco. Tiu ekvacio povas esti esprimata per:

La fonto de la problemo estas trovata en la kvinpinta stelo kun la pentagono, kiu estis la simbolo de la prozelita asocio de Pitagoro.

La kvinpinta stelo konsistas el kvin linioj. Ĉiu linio estas dividata en tri partoj; a,b,a kiuj havas rilatojn laŭ a : b = b : c kie c =a+b

Malpli konata fakto estas, ke la angulo inter la hipotenuzo kaj la latero kun longo je 3 unuoj en triangulo kun laterproporcioj je 3-4-5 estas duoble larĝa ol la angulo inter la hipotenuzo kaj la latero kun longo je 6 unuoj en la triangulo 3-6-√45 (ABC´ bildo 3) (Tiu triangulo estas samforma je triangulo kun laterproporcioj 1-2-√5).

Laŭ artikolo en la verko SIGMA de H.W.Turnbull – Pitagoro studis problemojn nomataj "la metodo apliki areoj". La ĉefa problemo en tiu metodo estis: Sur donita rekto oni desegnu figuron kiu havu saman areon kiel UNU kaj sama formo kiel ALIA donita figuro. – Feliĉe la redaktoro de la verko SIGMA afable klarigas tiun nebulan difinon en piednoto jene: Metodo per geometriaj konstruoj decidi la grandon de la areo en plurverticoj (kvadraturo).

Troviĝas tri klasikaj geometriaj problemoj kiuj estas nesolveblaj per euklida geometri.

La klasika problemo pri kvadraturigo de cirklo postulas, ke oni kreu kvadraton kun sama areo kiel donita cirklo. Se la cirkla areo estas 6 kvadrataj unuoj tiam la latero a en la kvadrato devas esti ≈ 2,4494897 unuoj.

Se ni geometrie volas krei kvadraton, kiu havas saman perimetron kiel cirklo kun la areo 6 kvadratunuoj, kiu ja havas perimetron je ≈ 8,6832 unuoj, ni do devas trovi metodon por difini la distancon a kiu, en ĉi tiu kazo, estas ≈ 2,1708… unuoj longa.

Tamen, kiu precizeco estas bezonata? Por nefakuloj, kiuj nur disponas linilojn kun mezuriloj dividataj je centimetroj kaj milimetroj kaj uzas ordinarajn krajonojn je sia konstruado de geometriaj diagramoj, precizeco je duona aŭ eble kvarona milimetro sufiĉus. Kun tia precizeco povus persono, kiu ne konas ion pri matematika kalkulado de anguloj kaj similaj aferoj, aserti, ke kvadraturigo de cirko estas ebla.

Modernaj matematikistoj pruvis, ke ne eblas ekzakte solvi la kvadraturon de la cirklo per euklida geometrio pro la karaktero de la konstanto p . Aliflanke troviĝas multaj metodoj kiuj pli malpli precize "solvas" la problemon.

Mia komputilo prezentas jenan valoron por la konstanto nomata "pi" (p ), kiu ja estas la rilato inter la perimetro kaj diametro de arbitra cirklo:

Arĥimedeo, kiu vivis en la greka urbo Sirakuzo dum la 3:a jacento a.K. (t.e. antaŭ proksimume 2300 jaroj), opiniis, ke la valoro por p troviĝas ie inter 3 10/71 kaj 3 1/7, aŭ decimale inter 3,140845 kaj 3,142857. T.e. li aplikis precizecon kiu estas proksimume ±0,001006. Mezvalore p ≈ 3,141851.

En 2000 mi ricevis kopion de artikoloj en la gazeto NEXUS n-roj 4,5 kaj 6 por 1999 (sveda versio) en kiuj s-ro Lehel Repis/Kopping, kiu mortis en 2000, prezentas diskuton pri "La kvadraturo de la cirklo". Jam komence de tiu diskuto LR/K substrekas ke li metis citilojn ĉirkaŭ la rubriko por, ke li volas atentigi, ke tio kion li intencas prezenti ne temas pri matematike preciza solvo de la klasika problemo.

Li nur volis montri ke eblas solvi la problemon se oni akceptas la valoron 22/7 kiel konstanta valoro por la rilato inter la perimetro de la cirklo kaj ĝia diametrio. La geometria diagramo estas bazita je la triangulo kun laterproporcioj 3-5-7. Tiu solvo donas distancon sur la radiuso, ( C-B´ ) en bildo 4, kiu ampleksas okonon de la perimetro de kvadrato kiu havas la ekzaktan perimetron: 88/14 = 44/7 aŭ ≈ 6.2857142.

La cirklo en tiu diagramo kompreneble havas la perimetron 2 * p ≈ 6,2831853... je p = 3.14159…. sed, en matematika sistemo kie oni akceptas la nombron 22/7 (q) kiel la rilato inter a diametro kaj la perimetro en cirklo, la solvo de LR/K povus esti perceptata kiel EKZAKTA. La trigonometriaj valoroj por la anguloj en la triangulo 3-5-7 estas kalkulitaj per la formulo CA² = AB² + BC² – 2(AB * BC)cosα kaj ne akiritaj per tabeloj aŭ per elektronikaj kalkuliloj.

Proksimume 400 jarojn a.K. ektrovis matematikisto nomata Hippokrato, ke estas eble krei du lunajn fazbildojn (lunulae Hippocratis) kiuj havas saman areon kiel donita orta triangulo.

Bildo 5 estas kreita baze de simila bildo en artikolo de H.W Turnbull nomata "La grandaj matematikistoj" kiu estas parto de la verko SIGMA kiu siavice estas traduko de la angla verko "The world of matematics".

Laŭ la artikolo de H.W. Turnbull la solvpostuloj de la problemo pri la kvadraturo de cirklo estas trovi kvadraton kiu havas saman areon kiel donita cirklo. La solvo laŭ la bildo en SIGMA estas kromprodukto kiam Hippokrato provis solvi kvadraturon de cirklo.

Mi kompletigis la triangulon tiel, ke oni vidas kvadraton kun la lateroj AB, BC, CB´ kaj B´A. La radiuso por la ekstera arko de la lunfaz-bildoj egalas la distancon AB/2. La arko kiu ĉirkaŭskribas la triangulon ABC havas radiuson kiu egalas la distancon AC/2. La du lunfazaj areoj D kaj E, kiuj staras sur la ĉeortaj lateroj AB resp BC, laŭdire, kune havas saman areon kiel la triangulo ABC.

La desegno kun la lunfazbildoj de Hipokrato, post mia modifo, tre similas al la "kvadraturo" de LR/K. Vidu la arkojn A´C kaj CD´ en bildo 4.

Por la "maljunaj grekoj" la problemo pri kvadraturigo de cirklo precipe temis pri ĝenerala difino de areoj kiuj havas kurbajn periferiojn. Tiu problemo estus tre facila solvi se ekzistus ekzakta solvo por la kvadraturo de cirklo.

Dum mia laboro kompili libreton pri la teorioj de s-ro R/K mi observis, ke la diagramo, kiu estiĝas la kvadraton kun la perimetro 44/7, eble povas esti uzata por akiri proksimumajn valorojn por kvadrataj radikoj se oni akceptas iomete da malprecizeco. Jen la formulo sen klarigoj kiel mi atingis la rezulton:

Plej multaj, kiuj scipovas matematikon, tuj volas ŝanĝi la esperimon √(x² + x²) al x√2 tamen tiam ne estas same evidente, ke la bazo de la esprimo estas c² = a² + b². Do, se kvadrato havas lateron kun la longo 4,5 (cm) la diagonalo en tiu kvadrato estas proksimume 6,3642857(cm) laŭ la formulo 99x/70 . T.e. vi ne bezonas fari la komplikajn kalkulojn por trovi proksimvaloro por la kvadrata radiko de 4.5 x 4,5 x 2 = 40,5 cm^{2
-->}√40,5 = 6.363961.

LR/K prezentas en sia artikolo en NEXUS bazmezuron kiu estas 1,8 metroj. Tiun mezuron, nomata ACU, li dividas en 189 partoj (7 x 27 = 189/27) kiujn li nomas vs [vi(ginte) septim(a) = Vi-Septim].

Se ni dividas la radiuson AC en bildo 6 en 189 paratojn (vs-oj) ni povas prikalkuli la perimetron de la cirklo per la formulo:

kie q = 22/7 . Komparu tion kun 2πr = 189 * 2 * 3,14159 = 1187,521vs. La diferenco estas 0,479 vs. Se la radiuso estas 1,8 metro tiam la perimetro de la kvadrato estas 11,324285 metroj kaj la perimetro de la cirklo 11,309723 metroj t.e. la diferenco estas proksimume 1,5 centimetro.

La sekva diskuto ne celas ŝanĝi la ordinarajn metodojn por prikalkuli kvadratajn radikojn, arkodistancojn, areon de cirkloj kaj cirklosektorojn.

Mi nur volas montri ke per la ACU-dividsistemo kunlige kun la valoro 22/7 = q estas eble prikalkuli akcepteblajn proksimvalorojn por tiuj aĵoj per frakcioj.

Mi jam montris ke eblas kalkuli, praktike uzeblan, proksimvaloron por kvadrata radiko per la formulo:

kiu baziĝas je la valoro 22/7 kiel rilato inter la perimetro kaj la diametro de cirklo. La formulo indikas ke, temas pri la diagonalo en kvadrato.

t.e. se vi konas la longon de latero a₁en kvadrato vi povas prikalkuli proksimuman valoron por la diagonalo sen helpo de la tezo de Pitagoro.

Bildo 7 montras geometrian metodon trovi la diagonalon AD en kvadrato kiu estas duone granda kiel kvadrato kun laterlongo je AB = a_1. En ĉi tiu kazo la hipotenuzo AD egalas al la longo de a₁ = 7 kaj sekve la longo de a₀ = √ 24,5. La geometria solvo ja estas ekzakta, sed se oni opinias ke empira mezuro de la distanco (≈ 4,9 - 5,0 ) ne estas sufiĉe ekzakta oni povas serĉi la valoron en tabelo kreita per la formulo √ (a₁²+a₁²) ≈ 99 a₁/70. T.e. se vi ne pozedas modernan elektronikan kalkulilon, kiu senprokraste informas, ke la serĉata valoro estas 4,9497474 ....

Nu, kompreneble estus eble uzi la valoron √2 ≈ 1,41 ( 7 x 1,41 ≈ 9,87) en la sama manaiero sed tiam ne temas pri entjeroj.

La supra diskuto do montras, ke estas eble difini la lateron a₀por areo duoble malpli granda ol la elira areo per la diagonalo en kvadrato. Bildo 7 ankaŭ montras, ke la diagonalo en kvadrato egalas al latero a₁en kvadrato kun duoble granda areo. Por spertaj matematikistoj tio certe ne estas novaĵo.

Kiam oni serĉas sin 1^o oni tre rapide povas trovi tiun valoron per elektronika kalkulilo. Mia komputilo asertas, ke tiu valoro estas:

Tiu valoro ja estas la kvociento inter la ĉeorta latero a en orta triangulo kaj la hipotenuzo c = 1 (a/1) en universala cirklo. Vidu bildon 8. Tio signifas, ke oni opinias, ke tiu valoro egalas al la ĉeorta latero a en orta trangulo ene de sektoro kiu ampleksas1/360 de la cirkla perimetro kaj, ke la radiuso havas longon je:

Se ni dividas la nombron 360 per π =3.14159… la kvociento estas 114,59165… Duono de tiu valoro estas 57,295825. La valoro indikas, ke la radiuso en la universala cirklo kovras arkon je proksimume 57,2958.⁰

Per la ACU-a dividsistemo estas eble difini aritmetikan perimetron je 1188 vs = 22/7 * 378 vs kun aritmetika radiuso je 189 vs. Se oni nomas la unuopajn partojn de la cirkla perimetro vs^o eblas konstati, ke la arko de 1vs^o = 1 vs sur la diametro.

Arko de 1^o	= 1188/360	= 3,3 vs^o
Arko de 7,5^o	= 1188/48	= 24,75 vs^o
Arko de 15^o	= 1188/24	= 49,5 vs^o
Arko de 30^o	= 1188/12	= 99,0 vs^o
Arko de 45^o	= 1188/8	= 148,5 vs^o
Arko de 60^o	= 1188/6	= 198,0 vs^o
Arko de 90^o	= 1188/4	= 297,0 vs^o
Arko de 120^o	= 1188/3	= 396,0 vs^o
Arko de 180^o	= 1188/2	= 594,0 vs^o

La longo de arbitra arko je v^o -oj estas do trovota per jena formulo, kie v^o indikas gradojn laŭ la sistemo de 360^o .

Se ni utiligas la ACU:an dividsistemon en universala cirklo ni povas prikalkuli la arkon per rationalaj nombroj. Se ni utiligas dividskalon 1:10 , t.e. la perimetro estas dividata en 11880 vs^o kaj la radiuso en 1890 vs la valoroj por arko de 1^o, 15^okaj 45^o iĝas entjeraj. Tiu dividskalo permesas al ni esprimi la sinus-valoron por arko de 1/33v^o per entjeroj:

Se la longo de arko estas konata oni nur bezonas dividi tiun valoron per 33 je dividskalo 1:10 por trovi kiom da gradoj tiu arko kovras.

Ekz. 2960 vs^o kovras 2960/33 = 89⁰+23/33⁰ (89,696969⁰). Se ni bezonas scii kiom da radianoj 2960 vs^o estas ni nur dividu la vs^o -valoron per 1890 vs:

Se ni per cirkelo tranĉas la periferion per distanco (n/189)r (0>n<=189) de la radiuso oni povas trovi la longon de la arko de tiu kordo uzante la konstanton 198/189 =22/21. Ekz. arko por 1 vs = 22/21 vs = 1 vs + 1/21 vs (1,04769). Inverse eblas trovi la longon de la kordo se la arko estas konata kaj multipliki ĝin per 21/22. ekz. 189 vs *21/22 = 180 + 9/22 = 180 + 1/3 + 1/20 + 1/30 vs de la radiuso .

La kordo ja estas la bazo en izocela triangulo kun "kruroj" egalongaj al la cirkela radiuso. La alto de izocela triangulo dividigas la bazan lateron en du egale longaj partoj. Sciante tion ni povas prikalkuli la duonon de la areo de izocela triangulo kun bazo = 2 vs kiel 1 * 189/2 vs kaj, ke la areo de la cirklo estas proksimume:

aŭ 112266 /1,05² = 101828,57 cm² (kompapru tion kun 180 * 180 * 3,14159 = 101787,51 cm² )

Kvadrato kun perimetro je 1188 vs kunlige kun aritmetike dividita periferio de cirklo en 1188 partoj ŝajnas esti praktika solvo de la problemo pri la kvadraturo de cirklo. Uzado de la valoro 22/7 (nomata q por ke oni ne intermiksu kun π) kiel valoro por la rilato inter la periferio kaj la diametro de cirklo anstataŭ la konstanto π povas esti avantaĝa en matematika sistemo kie oni uzas rationalajn nombrojn kaj esprimas ekz. 2960/1890 per ĉi tiu serio 1+1/2+1/18+1/126+1/378r aŭ per 1+1/3, 1/7, 1/21, 1/27, 1/189r. La Papiroso de Rhind , indikas, ke la egiptoj praktikis tian matematikan sistemon jam antaŭ pli ol 3850 jaroj, eble pro influo de desegnoj sur la blankaj kovroŝtonoj de la Granda Piramido kiuj nun estas forigitaj. [Vidu sube pri unufrakcioj (1/n.)]

En sistemo kie oni utiligas la ACU-an dividsistemon estas kompreneble eble dividi la bazan distancon en tri partoj (ulnoj) po 63 vs aŭ 60 cm. Se ni ekz. volas prikaluli la areon en cirklo kun radiuso je 10 cm, tiam 1 vs de la radiuso egalas al 10/189 cm. Tiu cirklo do havas proksimuman perimetron je 1188 * (10/189) = 11880/189 = 62 + 6/7 cm. [62,857142 cm] (2 * 10 * 3,14159 = 62,8318 cm).

Por kalkulado de areoj oni povas egaligi la arko de 1 vs^o = 1/1188 al rekto je 1 vs ĉar 1vs^o ja egalas nur al 0,30303030^o. Tial eblas kalkuli la aeron de triangulo kun ĉeortaj lateroj je 189 vs x 1 vs/2 = 94,5 vs². Ĉar ni ĉi foje volas prikalkuli areon de cirklo kiu havas radiuson je 10 cm ni devas prikalkuli areon por la skalo 1 vs = 10/189 t.e. (10/189)² = 100/35721. La areo de la tuta cirklo do ampleksas 1188 * 94,5 * (10/189)² = 1188 * 94,5 * (100/35721)¹⁾ = 314.27744 cm² (10 *10 * 3,14159 = 314,159 cm²)

¹⁾En ĝenerala formulo por la areo de cirklosektoro oni esprimu la rilato (100/35721) kiel x²/35721 kie x estas la nombro da mezurureroj en cm-oj, mm-oj, coloj, pinopingloj, abipingloj aŭ iun ajn bazdistanco. Oni kompreneble kalkulas laŭ la formulo 2xq = P por la perimetro kaj, se temas pri la tuta areon de la cirklo, oni kompreneble uzu la formulon x²q =A kie q = 22/7

Kompreneble la supra diskuto nur estas kuriozaĵo. Hodiaŭ, kiam troviĝas malmultekostaj elektronikaj kalkuliloj, la bezono de la priskribita sitemo certe estas preskaŭ nula. Tamen en egiptaj papirosoj troviĝas indikojn, ke oni prefere laboris per entjeraj nobroj kaj fraklciaj nombroj kun la numeratoroj 1 kaj 2.

La egipta skribisto Ahmose, kiu vivis proksimume 1700 jaroj aK, kopiis la dokumenton pri matematiko, kiun ni nomas "La Rhinda papiroso". Ahmose referas al pli malnova dokumento kiu eble troviĝis jam dum la dekdua dianstio proksimume inter 1849 – 1801 aK. Kelkaj opinias, ke la kovroŝtonoj de la Granda Piramido iam estis plena da ĉizaĵoj kiuj alludis la matematikajn regulojn en la Rhinda Papiroso. Tiuj "kelkaj", aŭ kiel D-ro Zahi Hawass, ĉefulo ĉe la Muzeo de Kairo, nomas ilin "piramidiotoj", opinias ke tiuj ĉizaĵoj estas la vera fonto de la enhavo de la Rhinda Papiroso.

Kiam Ahmose kalkulis li utiligis frakciajn seriojn kun numeratoro 1 kiun matematikistoj nomas unufrakcioj spite al fakto, ke li ankaŭ utiligis la frakcion 2/3

Por ke doni ioman percepton pri la matematika lerteco de Ahmose mi montros kiel mi solvas la taskon transformi la frakcion 9/22 al serio da frakcioj kun numeratoro = 1.

Unue malredukti la eliran valoron 9/22 per 2 al 18/44. Partigu la frakcion tiel, ke unu parto de la numeratoro donas la valoron 1 je redukto. Do 18/44 = 11/44 + 7/44 = 1/4 + 7/44. Malreduktu 7/44 per 2 al 14/88 kaj partigu la frakcion je 11/88 + 3/88 = 1/8 + 2/88 +1/88.. Ni nun povas konstati ke 9/22 egalas al la frakcia serio 1/4, 1/8, 1/44, 1/88. Tamen, la serioj 1/4, 1/11, 1/22, 1/44 kaj 1/3, 1/22, 1/33 ankaŭ egalas al 9/22. Eble la lastaj serioj pli bone kongruas al la frakciaj serioj en la Rhinda Papiroso ĉar ili utiligas malpli da frakciojn ol la unua ĉeno. Atentu, ke la malplej granda komuna denomiatoro por la ĉeno 1/3, 1/22, 1/33 estas 66.

La skribisto Ahmose ne montras kiel li transformas frakciojn kun arbitraj denominantoroj al frakcioj kun numeratoro 1. Laŭ la Rhinda Papiroso ŝajnas kiel li laboris rekte per frakcioj kun la numeratoro = 1 utiligante inter alie tabelon pri diviado de 2 per malparaj nombroj inter 3 ĝis 101 (2/3 ĝis 2/101).

En la verko "The World of Mathematics", kiu en la sveda traduko nomiĝas "SIGMA", troviĝas artikolo pri la Rhinda papiroso de James R. Newman. En la fina alineo de tiu artikolo li donas la konsilon, ke oni provu kompreni kial la "malnovaj" egiptoj kreis sian unikan matematikan sistemon.

La historiisto Herodotos, kiu vivis inter 480 – 420 a.K donis priskribon de la Granda Piramido ĉe El Gize en Egiptujo en kiu li asertas, ke troviĝis ĉizitaj skriboj kaj bildoj sur la blanka surfaco de la Granda piramido kiuj ampleksus 10 000 paĝojn. Bedaŭrinde ŝajnas kiel ne troviĝas arĥeologiaj trovaĵoj kiuj apogas, ke la blanka surfaco iam estis kovrita de hieroglifaj skribaĵoj.

Se la asertoj pri ĉizaĵoj estas ĝustaj, estas eble, ke konstruintoj de la piramido gravuris instruajn bildojn pri inter alie frakciigo sur la surfaco. Oni povas ekz. montri la sumon de unuopaj partoj de pano = 1 (la tuto) en jena maniero.

Estas ankaŭ eble, ke oni prezentis tabelojn kun 1/n serioj por ekz 3/5, 3/7, 5/9, 7/9 , 3/11, 3/13 k.t.p

Kiam temas pri 3/11 oni devas malredukti tri foje antaŭ ol eblas fari la frakcigon: 6/22, 12/44, 24/88 = 22/88 +2/88 = 1/4, 1/44.

La valoro 3/13 postulas ke oni malreduktas ses foje antaŭ ol eblas komenci la frakciigon: 6/26, 12/52, 24/104, 48/208, 96/416, 192/832 =104/832 + 88/832 = 1/8, 52/832 + 26/ 832 + 10/832 = 1/8,1/16,1/32+8/832+2/832 = 1/8, 1/16, 1/32, 1/104, 1/416.

Se la skribisto Ahmose vere komprenis la matematikan sistemon kiu estas prezentata en la Rhinda Papiroso estas tre strange, ke li utiligis tiel ŝajne malglatan sistemon kiel 1/n frakcioj anstataŭ nia pli moderna metodo kie la nominatoro havu iun ajn valoron.

Je multiplikado estas necese krei tabelon kun entjeroj kaj 1/n- frakcioj. Tamen, ĉar 4, 6, 8 kaj 9 estas multiploj de 2 kaj 3 eble ne estas bezonata fari apartajn tabelojn pro tiuj frakcioj.

Jen tabelo kiu donas la produkton de 7/9*5 = 35/9 = 2/3 + 1/9 + 3 + 1/9 = 3 + 8/9 t.e. la sumo de la valoroj sur linioj 1 kaj 4 en la suba tabelo.

Ĉar multiplikado egalas al ripetada adicio oni nur bezonas sumigi la valorojn laŭ la linioj kies sumo egalas al la multiplikanto. Je multipkio de 7/9 * 5 oni do sumigi la valorojn laŭ linioj 1 kaj 4.

Plej kredeble Ahmose prenis la valoron 2/3, 1/9 el tabelo en kiu oni prezentas opurtunaj frakciĉenoj. Ekz. laü jenaj tabeloj.

Je provo malredukti la nobron 8/9 al 1/n-frakcioj sen helpo de tabelo mi komencis per 2/3, la resto 2/9, ja egalas al 1/9 + 1/9. Ŝajnas laŭ la atrikolo de James R Newman, ke oni ne rajtas uzi frakciĉenojn kun du samaspektaj 1/n-frakcioj. Tial estas necese frakciigi la valoron 8/9 al la jena serio: 1/2, 1/4, 1/9, 1/36. Tamen tiu serio ne kongruas kun la tabelo supre. Laŭ la tabelo oni uzu la valorojn por 3/9 + 5/9 = 1/3 + 1/3, 1/6, 1/18 = 2/3, 1/6, 1/18. La tabeloj indikas, ke oni nur bezonas frakciĉenojn por nombroj 1,2,3,5 kaj 7 por trovi oportunan frakciĉenon por frakcioj kun denominatoro = 9. La sama afero validas pro frakcioj kun denominatoro = 8.

La artikolo pri la Rhinda papiroso en SIGMA enhavas specimenon de dividado de la valoro 9/10. La problemo estas esprimata kiel "Faru 9 pandiskojn por 10 viroj." T.e. dividu 9 pandiskojn inter 10 viroj.

Tute empire on ja povas konstati, ke la porcio da pano ne povas ampleksi tutan pandiskon sed nur parton de ĝi. Jen propono pri praktika solvo de la problemo.

Se mi duonigas 5 el la pandiskoj mi povas disdoni 1/2 pandiskon al ĉiu viro. Restas kvar pandiskoj, kiujn mi devas partigi en kvar partoj .t.e. mi havas 16 partojn po 1/4 :a pandisko. Je disdonado de 10 el la 1/4-partoj restos 6 partojn. Je duonigo de tiuj partoj mi havos 12 partojn je 1/8 de la pandisko kaj ankoraŭfoje povas disdoni 10 partojn. Nun restas 2/8 = 1/4 pandisko. Praktike oni povus dividi tiujn partojn en 10 partoj tiel ke 10 viroj estas kontentaj pri la porcio oni ricevas. La frakcia serio do aspektas jene 1/2 , 1/4, 1/8 plus resto de 1/4 pandisko.

La praktika solvo montras, ke frakciĉeno komencanta per 1/2 ne donas ekzaktan solvon. Ahmose prezentas jenan klarigon, kiu donas ekzaktan solvon:

"La plenumado kiel ĝi estas farata: Faru la multiplikadon: 2/3, 1/5, 1/30 oble 10.

La frakcioj sur linio 1 egalas al 27/30 = 9/10 kaj la sumo de lininombroj 2 kaj 8 = 10. La sumo de la valoroj sur tiuj linioj estas 9. El tio sekvas, ke la valoro sur linio 1 egalas al 1/10 de 9 pandiskoj. Do ĉiu viro ricevu 2/3 de pandisko + 1/5 de pandisko kaj finfine 1/30 de pandisko, por ke ĉiu ricevu 1/10 de la 9 pandiskoj. La ekzakta solvo tamen ŝajnas iom komplika je parktika dividado de 9 pandiskojn inter 10 viroj.

La frakcio 9/10 unuavide invitas al jena fakciigo: 5/10+2/10+2/10 =1/2, 1/5, 1/5.

Tamen, kiel oni dividu pandiskon en 5 partojn ekzakte? Atentinde estas ke la skribisto Ahmose unue devas malredukti la valoron 9/10 per 3 al 27/30 kaj tiu valoro al 54/60 antaŭ ol estas eble frakciigi laŭ la tabelo en la matematika problemo. Do: 54/60 = 40/60 + 12/60 + 2/60 = 2/3, 1/5, 1/30.

El la supra anlizo estas evidente ke frakciigi arbitrajn frakciojn al 1/n-frakcioj ne ĉiam estas facile farata sen tabeloj. Eble Ahmose ne tute komprenis kiel la origina verkisto akiris la frakciĉenon kiam li kopiis la problemon "Faru 9 pandiskojn por 10 viroj"

Unu el la problemoj en la Rhinda Papiroso temas pri volumeno en cilindra storejo, kiu havas diametron je 9 kaj alton de 6. Laŭdire Ahmose utiligis regulon kiu asertas, ke la surfaco de cirklo estas [(8/9)*d]² (8*9/9) * (8*9/9) = 64.

Tio signifas, ke la radiuso havas longon je 4,5. Ĉar la cirkla areo = πr² eblas prikalkuli kiun kvocienton Ahmose utiligis por la rilato inter la diametro kaj la perimetro de cirklo: 64/4,5 * 4,5 = 64/20,25 = 3,1604938... T.e. Ahmose laboris per "π"-valoro kiu devias je 0,0189038 kompare kun la valoro π = 3,14159...

Malredukto de 8/9 per 3 donas la frakcion 24/27. 1/27 el diametro dividata en 189 vs-oj *2 = 378 vs-oj estas 14 vs-oj kaj 24*14 vs-oj = 336 vs-oj. Ŝajne la skribisto egaligis la areon de cirklo en unueca cirklo kun radiuso je 189 vs kun kvadrato kun latero a₁ je 336 vs-oj. T.e. la areo = (336 vs)²= 112896 vs² laŭ Ahmose. Komparu tiun valoron kun 189²*22/7 = 112266 vs², kaj kun πr²= 189² ‘ 3,14159 = 112220,73.

Je frakciigo de 336/378 oni partigas la valoron al la frakcioj 252/378 + 63/378 + 21/378 kiuj ja egalas al 2/3 + 1/6 + 1/18.

La Rhinda papiroso ampleksas 87 problemojn. Kelkaj el tiuj problemoj estas tre malfacilaj, ja eĉ nekompreneblaj por persono kiu ne estas matematikisto.

Mi iom cerbumis ĉu la unufrakcioj havas ian avantaĝon antaŭ nia sistemo kun decimalaj pozicioj kaj decimalaj frakcioj. Unu avantaĝo estas, ke oni facile povas taksi kiom granda la eraro estas se oni nur uzas la valoron 2/3 + 1/6 = 5/6 kiel proksimvaloro por la valoro 336/378 kaj, ke estas pli facile vidi, ke la valoro 2/3 + 1/6 + 1/18. egalas al 8/9 ol vidi, ke 336 /378 egalas al 8/9. Do eblas, ke temas pri "kalulekonomio" kiam la skribisto Amohse utiligs unufrakciojn por siaj aritmetikaj manipuladoj.

Eble pli profunda anlaizo de la Rhinda kaj Moskva papirosoj povas doni pli fortajn indikojn ol mia laika analizo, ke la sistemo pri 1/n-frakcioj fontas en la dividsistemo kiun LR/K nomas ACU. Unu tia indiko estas problemo 54, kiu estas ordono dividi parcelon je 7 duonhektaroj (akreoj) en 10 kvadratoj (ĉeloj). En tiu problemo troviĝas frakciaj esprimoj kun la valoroj 7, 5 kaj 2 en la numeratoro kiam temas pri frakcioj kun 100 en la denominatoro. La samaj frakcioj, t.e. 7/100, 5/100 kaj 2/100, troviĝas en problemo 55 kiu estas ordono dividi parcelon je 3 duonhektaroj (akreoj) en 5 kvadratoj (ĉeloj). Do ŝajnas kiel la malnova egiptoj ne ĉiam esprimis valorojn per 1/n-frakcioj.