In English, please! 
[På engelska, tack!]

 Abstrakt algebra

- en kortfattad översikt av Bengt Månsson

 

Den abstrakta algebrans grunder kan se ut som en hop definitioner och när det börjar bli verkligt intressant blir det också riktigt svårt. Den här sidan är bara en början. Icke desto mindre hoppas jag att du kommer att förstå hur tidigare kända resultat får en gemensam grund. Den här sidan ger också en del nödvändig bakgrund för kommande översikter av Galoisteorin och den algebraiska talteorin. Min avsikt är att göra åtminstone någon väsentlig del av dessa viktiga och intressanta områden i matematiken begripliga för intresserade studenter på gymnasienivå eller strax över.

I exempel kommer vi att använda standardbeteckningarna Z, Q, R, C för mängden av heltal, rationella tal, reella tal respektive komplexa tal.

 

Binära operationer

eller kompositionsregler är t ex addition och multiplikation. Vi ska göra detta precist och mera allmänt.
   
En binär operation på en icke-tom mängd M är en funktion från M×M till M.
 

Grupper

 
En grupp är en algebraisk struktur (G,*) sådan att 
    (i)   * är associativ, 

    (ii)   det finns ett neutralt element e i G sådant att a*e = e*a = a för alla a i G

    (iii)  för varje a i G finns det en invers a' i G sådan att a*a' = a'*a = e.

 
   
 +   0   1   2 
 0  0  1  2
 1  1  2  0
 2  2  0  1
   
  ·   e   a   b   c      ·   e   a   b   c 
 e   e  a  b  c    e   e  a  b  c
 a  a  e  c  b    a  a  e  c  b
 b  b  c  e  a    b  b  c  a  e
 c  c  b  a  e    c  c  b  e  a
   
 *   e   p   q   r   s   t 
 e  e  p  q  r  s  t
 p  p  q  e  t  r  s
 q  q  e  p  s  t  r
 r  r  s  t  e  p  q
 s  s  t  r  q  e  p
 t  t  r  s  p  q  e
 

Ringar och kroppar

 
En ring är en algebraisk struktur (R,+,·) sådan att 
    (i)   (R,+) är en abelsk grupp, 

    (ii)   · is associativ, 

    (iii)  a·(b + c) = a·b + a·c  och  (a + bc = a·c + b·c  för alla a, b, c i R.

En kropp är en ring (K,+,·) sådan att 
    (iv)  (K - {0},·)  är en abelsk grupp.
   

Homomorfi och isomorfi

 
En grupphomomorfism f är en funktion från en grupp G till en grupp G' sådan att 
    f(ab) = f(a)f(b)  för alla a, b i G.
En ringhomomorfism f är en funktion från en ring R till en ring R' sådan att 
    (i)   f(a + b) = f(a) + f(b)  för alla a, b i R

    (ii)   f(a·b) = f(af(b)  för alla a, b i R.

   

Normala undergrupper och kvotgrupper

Ideal och kvotringar

 

Kroppsutvidgningar

 
En enkel algebraisk utvidgning är en utvidgning K(a):K sådan att a är ett 
nollställe till ett polynom, skilt från nollpolynomet, över K. a säges då vara 
algebraiskt över K.
En enkel transcendent utvidgning är en utvidgning K(a):K där a inte är ett 
nollställe till något polynom, skilt från nollpolynomet, över K. a säges då vara 
transcendent över K.
   
Om K(a):K är en enkel algebraisk utvidgning så finns det precis ett 
moniskt polynom m(t) över K av lägsta gradtal, sådant att m(a) = 0. 
Polynomet m(t) är irreducibelt och delar varje polynom över K, till 
vilket a är ett nollställe.
   
Om m(t) är ett moniskt, irreducibelt polynom över kroppen K, så finns det 
en utvidgning K(a):K, sådan att a har minimalpolynomet m(t) över K.
 

Vektorrum

 
V är ett vektorrum över en kropp F om (V,+) är en abelsk grupp och en 
multiplikation av element i V med element i F är definierad, sådan att 
    (i)   a(u + v) = au + av  för alla a i F och u, v i V

    (ii)  (a + b)u = au + bu  för alla a, b i F och u i V

    (iii)  a(bu) = (ab)u  för alla a, b i F och u i V

    (iv)  1u = u  för alla u i V

    (v)   0u = 0  för alla u i V.

   
Om K(a):K är en enkel algebraisk utvidgning, så är [K(a):K] lika med 
gradtalet hos minimalpolynomet för  a över K.
 

Avslutning


© Copyright Bengt Månsson 1997, bengtmn@algonet.se. Senast uppdaterad 11 november 1997.