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LA NUMERACION  MAYA

Por Carlos Alfaro Aldana        (rev. 2002-08-19 )

INTRODUCCION
Este tema es muy interesante y muy popular. En el internet hay cantidad de sitios donde  se trata este tema con derroche de belleza y detalles. Los números mayas se emplean mucho en el  calendario y la Astronomía maya.

La finalidad de este trabajo es brindar las bases del sistema numérico maya para poder entender mejor la cronología maya.

Se sabe de que el sistema maya de numeración es 'vigesimal' , es decir que su base es 20. El sistema que nosotros usamos actualmente se denomina, como todos lo sabemos, 'decimal' , teniendo como base 10. Este sistema (el decimal) fue introducido por los árabes en Europa. Los árabes lo habían aprendido de los indios (de la India). Los caracteres del 0 al 9, tal como los escribimos hoy son derivados de la forma en que se escribían en árabe por eso a estos números también se les llama arábigos. Este sistema ganó terreno por ser 'posicional' y desplazó al sistema de numeración romano y griego usado en ese entonces en Europa y las áreas de influencia de  lo que era el  imperio romano. Hoy en día se usa el sistema romano en las carátulas de los relojes, para numerar capítulos o para nombrar a los reyes y a los Papas.  Ejemplos: Capítulo V, Luis XII, Juan XXIII, etc.. 

La introducción del cero y las posiciones en el sistema de numeración fue una gran revolución en las Matemáticas. En nuestro continente merecen los Mayas el honor de haber introducido el cero en su sistema de numeración como veremos más adelante. 

Un poco de teoría
La base de un sistema determina la cantidad de caracteres o símbolos del sistema. El sistema decimal cuenta con 10 símbolos:   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Las cantidades o números se representan  con una  secuencia de éstos  símbolos.

El sistema decimal es posicional, lo cual significa que el 'peso' de una cifra en una cantidad se determina por la posición de esta cifra en la cantidad.  Por lo tanto el número decimal 370.81 es la forma simbólica  de

3x102 +7x101 +0x100 +8x10-1+1x10-2 = 300+70+0+0.8+0.01 = 370.81

El peso de una cifra entonces es un potencia de 10.

Lo mejor es ver esto en dos ejemplos más : 

a) el número decimal 10 se descompone: 1x10¹+0x10° = 10+0 = 10. Es un número de dos posiciones.

b)  1585 se puede escribir: 1x10³+5x10²+8x10¹+5x10° = 1000+500+80+5. Como bien sabemos, todo número elevado a la potencia 'cero', es igual a uno. Por ejemplo: 10º=1,  5º=1, 20º=1. 

En el número 1585 pudimos también observar de que el '1'  vale más que el '8'  debido a que ocupa una posición más alta que este último. La  posición equivale al número al que hay que elevar la base del sistema para que dé el valor del dígito en la posición en que está. En este caso el '1' representa el valor de 1000, el número 5 representa 500, el 8 representa 80 y el 5 representa 5. 

Las posiciones se cuentan partiendo  de derecha a izquierda tal como en el ejemplo de arriba. Esto coincide con lo que nos enseñaron en la primaria: 'unidad, decena, centena, millar'  de derecha a izquierda. El cinco sería 'unidad'   por multiplicarse por 10º =1, el 8 las 'decenas' por ser multiplicado por 10¹=10,   el 5 serían las 'centenas' ya que se multiplica por 10²=100, y finalmente el 1 representa los millares puesto que 10³=1000.

Si  en las posiciones hacen falta dígitos, se emplea el cero para llenar este espacio, por ejemplo: 1000,  1050, 10033, etc. Esta es una de las grandes ventajas del símbolo cero y del sistema posicional.

Otros sistemas conocidos. Entre los sistemas conocidos se cuenta el sistema Binario cuya base es el 2. Este, como su nombre lo revela, sólo cuenta con dos componentes, el  0 y el 1.  Pese a su simpleza el sistema binario es muy usado en la programación, informática etc. 

Ejemplos de binarios:  1011 = 1x2³+0x2²+1x2¹+1x2º  = 11 decimal,   1111 = 1x2³+1x2²+1x2¹+1x2º=15 decimal,  1001 = 9 decimal

También existe el sistema hexadecimal el cual tiene como base el 16. Este sistema tiene entonces 16 componentes. Pero como sólamente contamos con los símbolos de 0 a 9 para expresar los números, entonces se tienen que prestar letras del abecedario para completar los componentes del 10 al 15. Los componentes se expresan asi:  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.  Este sistema también es muy común en la informática.

Ejemplos de cantidades escritas con el sistema hexadecimal:

FFFF=Fx16³+Fx16²+Fx16¹+Fx16º = 15x4096+15x256+15x16+15x1 = 61440+3840+240+15=65535; 

2A3 = 2x16²+Ax16¹+3x16º = 2x256+10x16+3x1=512+160+3= 675. 

Paciencia amigos....

 

El Sistema Numérico Maya

Los símbolos mayas: Puntos y rayas,  bolitas  y barras, no importa cómo les llamemos.

                          

Los símbolos se escriben también en forma vertical

      

No es tan difícil intuir el valor de cada símbolo desde el 0 hasta el 19. Cinco bolitas no se usan para expresar un dígito ya que cinco bolitas equivalen a una barra por eso se pasa directamente de cuatro bolitas a una barra cuyo valor es cinco. Dos barras equivalen a diez, tres barras a quince. Cuatro barras tampoco se usan para expresar un dígito puesto que cuatro barras equivalen a 20 y esto quiere decir que pasamos a un número de dos posiciones. Esto es lo mismo como cuando pasamos del 9 al 10 en nuestro sistema. El 10 contiene dos posiciones.

Nota: Usaremos 5 bolitas y 4 barras únicamente, y en forma 'transitoria' , cuando estemos resolviendo operaciones matemáticas.

Pues bien, como se puede notar, el sistema maya no tiene nada que envidiarle a los sistemas anteriores. Es un sistema posicional, es un sistema con el componente cero y además de esto es un sistema basado en el 20, obviamente más potente que los antes enumerados. 

Un sistema vigesimal cuenta entonces con 20 elementos del 0 al 19. Para poder escribir el sistema vigesimal con nuestros propios símbolos tendríamos que prestarnos  letras del abecedario: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.G,H,I,J.  Pero esto sería un tanto tedioso.

Nuestra simbología: Los decimales los escribiremos sin ningún cambio, 5,  69,  22, etc. Para evitar el uso de letras  escribiremos los vigesimales ya sea con los símbolos mayas o bien con símbolos decimales encerrados entre paréntesis ( ).  Por ejemplo:   (19) =  número 19 vigesimal  y también equivale  a 19 decimal.  El vigesimal (1)(3), dos posiciones, equivale a 23 decimal, dos posiciones.

Puesto que nosotros desde niños hemos aprendido y crecido con el sistema decimal es un poco  difícil  'trasladarse'  al mundo vigesimal. Por este motivo tendremos que usar el sistema decimal como referencia. Tendremos que convertir del decimal al vigesimal y viceversa. Con el tiempo uno se acostumbra, pero al principio causa confusión, como en el ejemplo de arriba: (13) vigesimal, que en la práctica es un sólo símbolo,  equivale al 13 decimal que es una cifra de dos posiciones. Mientras que (1)(3) vigesimal, que son dos símbolos (dos posiciones), equivale a 23 decimal (también dos posiciones). 

Por otro lado,  la bolitas y las barras en cada elemento del 1 al 19 facilitan las operaciones básicas como veremos más adelante.

En los documentos y monumentos mayas aparecen las cantidades y los símbolos tanto  en forma vertical como en forma  horizontal.

En la Tabla 2  se muestran algunas cantidades decimales con sus equivalentes en maya vigesimal así como los valores específicos de cada posición, 1, 20, 400, 8000, etc.

                                            

Podemos notar que el 2 equivale a dos bolitas multiplicadas por 1, es decir: 2x20º. 

El 23  equivale a una bolita multiplicada por 20 más 3 bolitas multiplicadas por uno, o sea (1)x20+(3)x20º. 

El 4359 lo podemos escribir en la forma (10)x20²+(17)x20¹+(19)x20º = 10x400+17x20+19x1 =  4000+340+19 = 4359.

Y al final la cantidad 24417 = (3)x20³+(1)x20²+(0)x20¹+(17)x20º = 24000+400+0+17 = 24417

 

Conversión del sistema decimal al maya vigesimal

Para convertir un número decimal a otro número con  base distinta se hace por medio de divisiones sucesivas. Dividimos el número decimal entre la base del otro sistema. En este caso dividimos entre 20. Veámolo en la práctica.

Hagamos los ejemplos de la Tabla 2:

a) El  número 2 decimal no requiere mayor trabajo, puesto que 2 =  

b) Convertir 23 al maya.    Es decir 23  =  (?)

Dividimos 23 entre 20 que es la base del sistema maya:

                               

Regla: A partir del último cociente, de derecha a izquierda contamos así: El ultimo cociente será la primera cifra del resultado buscado, el primer resíduo será la segunda cifra, el segundo resíduo la tercera cifra, etc,  hasta llegar al último resíduo que será la última cifra. Para enfatizarlo usaremos los paréntesis ( ) para marcar el ultimo cociente y los resíduos.

En este caso el´'1'  es el último (y único) cociente y será  la primera cifra que se colocará ya sea en la posición más alta en forma vertical o en la posición más a la izquierda en forma horizontal.  El '3' es el segundo símbolo a colocar  ya sea debajo del '1'  o bien a la derecha de éste.

En maya será entonces un punto en la segunda posición y tres puntos en la primera   (1)(3). Ver figura ejemplo b).

Expresado en la forma clásica sería  (1)x20¹+ (3)x20º = 20+3 = 23

 

Ejemplo c) Convertir 4359 al  sistema maya. Aquí tenemos 3 posiciones. Contamos de derecha a izquierda a partir del ultimo cociente (10), resíduo (17), y resíduo (19).

 

                                        

Explicación: La primera división nos dió 217 y un resíduo de (19), la segunda división nos dió un cociente de 10 y un resíduo de (17). Siendo 10 el último cociente lo marcamos con paréntesis (10) y será por lo tanto el elemento en la posición más alta. 

 

Ejemplo d) Y por último vamos a convertir el  decimal 24417 al vigesimal maya. Aquí hay varias divisiones. La primera división nos dió 1220 con resíduo (17), la segunda división nos dió 61 con resíduo (0), y la tercera división  (3) con resíduo (1). El resultado,  como vemos,  nos da un número maya de cuatro componentes (3)(1)(0)(17) los cuales  escribimos en forma vertical, estando hasta arriba el (3) que es la posición más alta. 

                                                 

El decimal 24417 lo podemos descomponer así: 

2x104+4x103+4x102+1x101+7x100  = 20000+4000+400+10+7 = 24,417.

Su equivalente vigesimal  (3)(1)(0)(17)  (ver los símbolos mayas)  lo expresamos asi:

(3)x203+(1)x202+(0)x201+(17)x200  = 24000+400+0+17 = 24,417 

 

Observación: en el decimal 24417 hay 5 símbolos,  en el vigesimal (3)(1)(0)(17)  hay sólo 4 símbolos.  Entre más grande sea la base de un sístema, menos símbolos se necesitan para expresar las cantidades. 

Verdad que no es tan difícil como parece?

Con el tiempo uno se aprende de memoria los valores de los niveles de acuerdo a la tabla2: 1, 20, 400, 8000, 160000, etc. Y ése es el valor que se multiplica por el símbolo que se encuentre en esa posición. 

Ejercicio mental: Tratemos de memorizar el 20 que es el símbolo de cero con una bolita un nivel arriba de éste. A partir de aquí el 21 substituyendo el cero con una bolita, el 22 con dos bolitas, etc. hasta llegar al 39 que sería el  símbolo (19)  con una bolita un nivel encima de él. El próximo número será el 40 y en este caso ya será el símbolo cero con 2 bolitas un nivel arriba.  Ver figuras.

                           ETC, ETC

Ejercicio  práctico: Numeremos  'en maya'  las páginas de nuestros cuadernos y libros. 

Tablas
Nota: No se trata de  hacer sufrir al lector. Aquí he puesto  las TABLAS: tabla1, tabla2, tabla3 y tabla4, con  números  mayas del 0 al 1290, con ayuda de las cuales podremos realizar muchas operaciones.

Operaciones aritméticas
Pregunta: Se puede sumar, restar, multiplicar y dividir  en el sistema  maya? 

En principio las operaciones simples de la Aritemética tienen que ser posibles en todos los sistemas, incluido el maya. Exactamente cómo lo hacían los Mayas, sigue siendo motivo de investigación. Hay varios trabajos de estudiosos curiosos, pero debemos tomar esto como aproximaciones. Si encontramos por nuestra propia cuenta un  método adecuado para trabajar con los símbolos es importante que aclaremos que es de nuestra propia cosecha, para no confundir a los lectores. Ahora, si tenemos suerte y descubrimos  los métodos originales mayas, hay que citar las fuentes, documentos, monumentos, etc, y difundirlos para que todos los compartamos. Lo principal  es rescatar el sistema como tal y aprenderlo a usar en forma práctica con los símbolos originales mayas, no importando si son métodos nuestros o los originales.

Aclaración: Las formas de efectuar la Suma, Resta, Multiplicación y División,  expuestas aquí son mis propias propuestas. No he tenido la suerte ni el honor de tener a disposición documentación original con métodos originales de los Mayas.  Agradeceré cualquier sugerencia  de los lectores para mejorar las propuestas. Las publicaré aquí dando crédito al autor. 

Entonces, al mandado y no al retozo! Vamos a hacer un recorrido  desde lo más simple a los más complejo

SUMA

SUMAS SIMPLES

   =  ;

  +   =   ;

  +   =   ;

  +   =   ;

   =     Siete puntos dan un siete formado por una raya y dos puntos;

  + =    

Regla: 5 bolitas hacen 1 barra.

Con el tiempo uno hace las operaciones  'automáticamente' , pero si se quiere, al principio,  uno puedo juntar primero todas las bolitas  y todas las barras en un cuadrito. Luego se convierten las bolitas a barras y en otro cuadrito se escribe el resultado final.

 

SUMAS DE MÁS NIVELES

a) (10) + (10) = (1)(0)   =>  10+10 = 20

  +    =           Horizontal:      

 

b) (10) + (13) = (1)(3)  => 10+13 = 23

  +            Horizontal:    

Regla: 4 barras hacen una bolita que tiene que ser trasladada al  nivel inmediato superior.  El espacio debajo se llena con un cero si no hay otros elementos.

Al igual que en  las sumas simples,  aquí también podríamos juntar todas las bolitas y barras primero en un cuadrito. A continuación  convertimos las bolitas a barras y luego, si hay grupos de cuatro barras, cada grupo es  convertido en una bolita  que vale 20 en el nivel inmediato superior.

Para nuestros fines usaremos un tablero de columnas y renglones, aunque no es estrictamente necesario.

                              

 

                               

 

RESTA

Si se puede sumar se puede restar. 

  =   Una barra es igual a cinco bolitas, cinco bolitas menos tres dan dos

-    =  4 bolitas menos 3 dan 1 bolita, 3 barras menos 1 barra dan 2 barras.

Igual de fácil como la suma. Nota importante: Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, el resultado tendrá  signo negativo. Pero nosotros no  sabemos cómo expresaban los mayas los números negativos. Pero, no importa,  le pondremos el signo 'menos'.

-  -  resultado: -(14) .

 

RESTAS DE MÁS NIVELES

                             

 

                            

 

MULTIPLICACION

x   ;

x   ;

Nota: Hasta aquí hemos  trabajado con números simples, es decir de  (0) al  (19), dando resultados que pertenecen a la primera posición, las 'unidades' . Recordemos que cada símbolo maya  (del 0 maya al 19 maya) es un número simple o dígito, al igual que lo son en el sistema decimal los números del  0  al   9 .

Veamos ahora cantidades con dos posiciones. Como ya dijimos anteriormente, las podemos escribir en forma vertical u horizonal.

Multipliquemos:

    x      Horizontal.   

Equivalente decimal:  2x20¹  + 15x20º  = 55

Las posiciones se léen de derecha a izquierda. El  símbolo (15) está en  la primera posición y el (2) en la segunda posición. Los símbolos  (2)(15) equivalen al decimal 55 que es el producto de 5x11.

Fácil de decirlo, pero, cómo hemos llegado a este resultado? Probemos a multiplicar la barra (5) por cada componente del número (11):

x = 5 barras+ 5 barras+1barra=4barras+4barras+3 barras=[20]+[20]+[15]=[40]+[15]=2x20+15

Multipliquemos:

  =   

Equivalente decimal: (18)x20¹ + (1)x20º = 360+1 = 361.

El número maya  (18)(1)  equivale a 361 decimal,  que es el producto de 19x19.

Parece ser más adecuado escribir las cantidades mayas en forma vertical cuando se trata de multiplicar cantidades de varios niveles o 'pisos'. Para clarificar los niveles en que caen los distintos resultados durante la multiplicación multiplicaremos dos números de tres pisos con el numeral 'uno' en cada nivel. De esta forma obtenemos sólamente bolitas en cada nivel y esto nos ayuda a comprender los niveles.

Cada nivel del multiplicador es multiplicado por los tres niveles del multiplicando, empezando por el primer nivel. En la figura de abajo están marcadas las operaciones por medio de flechas y números entre paréntesis. De esta forma podemos seguirle la huella a cada operación. Las bolitas también tienen colores distintos para poder identificar de donde proceden.

 

                

 

                           

 

                          

 

DIVISION

En el caso de la división proponemos escribir los números mayas en forma horizontal.  Usaremos el ángulo divisor y colocaremos todos los elementos   dividendo, divisor y cociente en la misma forma que nos enseñaron en la escuela. La división con números mayas es sorpresivamente fácil como se puede ver en los recuadros siguientes.

                         

 

                            

 

                             (Fin)        (ARRIBA)

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